「多次元連続位相復元問題」と「特異条件下の多項式零点分布決定問題」に関する研究
この研究では、システムの位相特性の代数的パラメータ表現を決定する問題
と多項式の零点分布決定問題の間に密接な関係があり、前者の完全な解法を
与えることにより、後者は特別な場合として解決できることを示している。
有限な広がりを有する任意の多次元複素信号に対してその連続位相を
厳密に導出するアルゴリズムを提案するとともに、
このアルゴリズムを利用して, 1変数複素多項式の零点分布決定問題
が一般的に解決されることを示している。
まず、 有限な広がりを持つ多次元信号の連続位相が
1次元有限長複素信号の連続位相を表す有限なルベーグ積分値
の有限和で与えられることを明らかにしている。 次に、
1次元有限長複素信号の連続位相は、 実周波数域で非零な1次元複素信号の連続位相と
1次元複素対称信号の連続位相の和として表現できることを示している。
更に、 1次元複素対称信号の連続位相は中心次数を比例定数とする
線形位相で与えられることを示すとともに実周波数域で非零な
1次元有限長複素信号についても、 これを平行移動した信号
の実部と虚部と各々 (0,2π) の範囲で同一の符号を持つ
2つの実連続関数から構成される広義のスツルム列の符号変化数
を用いて連続位相が正しく算出可能であることを示し、 多次元複素信号の連続位相導出
問題が一般的に解決されることを明らかにしている。
また、 提案する連続位相導出アルゴリズムを応用することにより、
これまで未解決であった多次元線形位相成分の決定問題ならびに、
(Schur変換値が0となる特異条件下の)1変数複素多項式の零点分布決定問題
が統一的に解決できることを明らかにしている。
最後に数値例によって本手法により確かに多次元連続位相が厳密に算出
されることを確認している。
詳細と本研究の位置付けについては、下記の拙文と最近出版された第１人者による
多次元システム理論のバイブル(文献3)のChapter 1.8を参照されたい。
複素関数論や積分論が単なる理論や計算のお話でなく、現実の問題を解決する上で
如何に有効な指針を与えてくれるのかを実感していただけると思う。
1. I. Yamada, K. Kurosawa, H. Hasegawa, K. Sakaniwa:
"Algebraic multidimensional phase unwrapping and zero distribution of complex
polynomials-characterization of multivariate stable polynomials,"
IEEE Transactions on Signal Processing, vol.46, pp.1639-1664, 1998.
(http://ieeexplore.ieee.org/xpl/tocresult.jsp?isNumber=14942&puNumber=78)
2. I. Yamada and N.K. Bose:
"Algebraic phase unwrapping and zero distribution of polynomial for
continuous-time systems," IEEE Transactions on Circuits and Syetems I
--- Fundamental Theory and Applications, vol.49, pp.298-304, 2002.
((http://ieeexplore.ieee.org/xpl/tocresult.jsp?isNumber=21319&puNumber=81)
3. Nirmal K. Bose:
Multidimensional Systems Theory and Applications (2nd Ed.), Kluwer, 2003.
(http://www.wkap.nl/prod/b/1-4020-1623-9?a=2)
2004年3月31日 山田 功
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